∫ (from 0 to 1) of x^2(1-x)^3 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 3 }$$

計算

$$\frac{1}{60}\approx 0.016666667$$

解の手順

二項定理の \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} を使用して \left(1-x\right)^{3} を展開します。

$$\int _{0}^{1}x^{2}\left(1-3x+3x^{2}-x^{3}\right)\mathrm{d}x$$

分配則を使用して x^{2} と 1-3x+3x^{2}-x^{3} を乗算します。

$$\int _{0}^{1}x^{2}-3x^{3}+3x^{4}-x^{5}\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int x^{2}-3x^{3}+3x^{4}-x^{5}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -3x^{3}\mathrm{d}x+\int 3x^{4}\mathrm{d}x+\int -x^{5}\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-3\int x^{3}\mathrm{d}x+3\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{5}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。

$$\frac{x^{3}}{3}-3\int x^{3}\mathrm{d}x+3\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{5}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{3}\mathrm{d}x を \frac{x^{4}}{4} に置き換えます。 -3 と \frac{x^{4}}{4} を乗算します。

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{4}}{4}+3\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{5}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{4}\mathrm{d}x を \frac{x^{5}}{5} に置き換えます。 3 と \frac{x^{5}}{5} を乗算します。

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{5}}{5}-\int x^{5}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{5}\mathrm{d}x を \frac{x^{6}}{6} に置き換えます。 -1 と \frac{x^{6}}{6} を乗算します。

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{5}}{5}-\frac{x^{6}}{6}$$

簡約化します。

$$-\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}-\frac{3x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$-\frac{1^{6}}{6}+\frac{3}{5}\times 1^{5}-\frac{3}{4}\times 1^{4}+\frac{1^{3}}{3}-\left(-\frac{0^{6}}{6}+\frac{3}{5}\times 0^{5}-\frac{3}{4}\times 0^{4}+\frac{0^{3}}{3}\right)$$

簡約化します。

$$\frac{1}{60}$$