∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^3 wrt x= を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 3 } d x =$$

計算

$$4305$$

解の手順

二項定理の \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} を使用して \left(4x-3\right)^{3} を展開します。

$$\int _{-2}^{5}64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int 64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int 64x^{3}\mathrm{d}x+\int -144x^{2}\mathrm{d}x+\int 108x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$64\int x^{3}\mathrm{d}x-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{3}\mathrm{d}x を \frac{x^{4}}{4} に置き換えます。 64 と \frac{x^{4}}{4} を乗算します。

$$16x^{4}-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 -144 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$16x^{4}-48x^{3}+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 108 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}+\int -27\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、-27 の積分を見つけます。

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}-27x$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$16\times 5^{4}-48\times 5^{3}+54\times 5^{2}-27\times 5-\left(16\left(-2\right)^{4}-48\left(-2\right)^{3}+54\left(-2\right)^{2}-27\left(-2\right)\right)$$

簡約化します。

$$4305$$