∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^2 wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 2 } d x$$

計算

$$\frac{1561}{3}\approx 520.333333333$$

解の手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(4x-3\right)^{2} を展開します。

$$\int _{-2}^{5}16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

最初に不定積分を評価します。

$$\int 16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -24x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 16 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{16x^{3}}{3}-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 -24 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、9 の積分を見つけます。

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+9x$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{16}{3}\times 5^{3}-12\times 5^{2}+9\times 5-\left(\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}-12\left(-2\right)^{2}+9\left(-2\right)\right)$$

簡約化します。

$$\frac{1561}{3}$$