∫ _{frac{sqrt{2}}{2}}^1(x^4-1/2x^2) wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ^ { 1 } ( x ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } ) d x$$

計算

$$\frac{\sqrt{2}}{60}+\frac{1}{30}\approx 0.056903559$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int x^{4}-\frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -\frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{4}\mathrm{d}x を \frac{x^{5}}{5} に置き換えます。

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 -\frac{1}{2} と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{6}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{1^{5}}{5}-\frac{1^{3}}{6}-\left(\frac{1}{5}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{5}-\frac{1}{6}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{3}\right)$$

簡約化します。

$$\frac{1}{30}+\frac{\sqrt{2}}{60}$$