∫ 20x(2x+3)^3 wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int 20 x ( 2 x + 3 ) ^ { 3 } d x$$

計算

$$32x^{5}+180x^{4}+360x^{3}+270x^{2}+С$$

解の手順

二項定理の \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} を使用して \left(2x+3\right)^{3} を展開します。

$$\int 20x\left(8x^{3}+36x^{2}+54x+27\right)\mathrm{d}x$$

分配則を使用して 20x と 8x^{3}+36x^{2}+54x+27 を乗算します。

$$\int 160x^{4}+720x^{3}+1080x^{2}+540x\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int 160x^{4}\mathrm{d}x+\int 720x^{3}\mathrm{d}x+\int 1080x^{2}\mathrm{d}x+\int 540x\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$160\int x^{4}\mathrm{d}x+720\int x^{3}\mathrm{d}x+1080\int x^{2}\mathrm{d}x+540\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{4}\mathrm{d}x を \frac{x^{5}}{5} に置き換えます。 160 と \frac{x^{5}}{5} を乗算します。

$$32x^{5}+720\int x^{3}\mathrm{d}x+1080\int x^{2}\mathrm{d}x+540\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{3}\mathrm{d}x を \frac{x^{4}}{4} に置き換えます。 720 と \frac{x^{4}}{4} を乗算します。

$$32x^{5}+180x^{4}+1080\int x^{2}\mathrm{d}x+540\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 1080 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$32x^{5}+180x^{4}+360x^{3}+540\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 540 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$32x^{5}+180x^{4}+360x^{3}+270x^{2}$$

F\left(x\right) が f\left(x\right) の不定積分である場合、f\left(x\right) のすべての不定積分のセットは F\left(x\right)+C によって与えられます。したがって、積分定数 C\in \mathrm{R} を結果に追加します。

$$270x^{2}+360x^{3}+180x^{4}+32x^{5}+С$$

x で微分する

$$20x\left(2x+3\right)^{3}$$