∫ (3-x^2)^3 wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int ( 3 - x ^ { 2 } ) ^ { 3 } d x$$

計算

$$-\frac{x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}-9x^{3}+27x+С$$

解の手順

二項定理の \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} を使用して \left(3-x^{2}\right)^{3} を展開します。

$$\int 27-27x^{2}+9\left(x^{2}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{3}\mathrm{d}x$$

数値を累乗するには、指数を乗算します。2 と 2 を乗算して 4 を取得します。

$$\int 27-27x^{2}+9x^{4}-\left(x^{2}\right)^{3}\mathrm{d}x$$

数値を累乗するには、指数を乗算します。2 と 3 を乗算して 6 を取得します。

$$\int 27-27x^{2}+9x^{4}-x^{6}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int 27\mathrm{d}x+\int -27x^{2}\mathrm{d}x+\int 9x^{4}\mathrm{d}x+\int -x^{6}\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int 27\mathrm{d}x-27\int x^{2}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{6}\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、27 の積分を見つけます。

$$27x-27\int x^{2}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{6}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。 -27 と \frac{x^{3}}{3} を乗算します。

$$27x-9x^{3}+9\int x^{4}\mathrm{d}x-\int x^{6}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{4}\mathrm{d}x を \frac{x^{5}}{5} に置き換えます。 9 と \frac{x^{5}}{5} を乗算します。

$$27x-9x^{3}+\frac{9x^{5}}{5}-\int x^{6}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{6}\mathrm{d}x を \frac{x^{7}}{7} に置き換えます。 -1 と \frac{x^{7}}{7} を乗算します。

$$27x-9x^{3}+\frac{9x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}$$

簡約化します。

$$-\frac{x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}-9x^{3}+27x$$

F\left(x\right) が f\left(x\right) の不定積分である場合、f\left(x\right) のすべての不定積分のセットは F\left(x\right)+C によって与えられます。したがって、積分定数 C\in \mathrm{R} を結果に追加します。

$$-\frac{x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}-9x^{3}+27x+С$$

x で微分する

$$-\left(x^{2}-3\right)^{3}$$