∫ x^4+x^2+1/x^2+x+1 wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int \frac { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x$$

計算

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

解の手順

まだ因数分解されていない式を \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1} に因数分解します。

$$\int \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x$$

分子と分母の両方の x^{2}+x+1 を約分します。

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 -1 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、1 の積分を見つけます。

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

簡約化します。

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

F\left(x\right) が f\left(x\right) の不定積分である場合、f\left(x\right) のすべての不定積分のセットは F\left(x\right)+C によって与えられます。したがって、積分定数 C\in \mathrm{R} を結果に追加します。

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

x で微分する

$$x^{2}-x+1$$