d/dxleft(sin(x)right) を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

計算

$$\cos(x)$$

微分係数の定義を使用する方法

関数 f\left(x\right) では、その極限が存在する場合、微分係数は h が 0 に近づくときの \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} の極限です。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

正弦の加法定理を使用します。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

\sin(x) をくくり出します。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

極限を書き換えます。

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

h が 0 に限定されるように計算するときに、x は定数となることを使用します。

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

極限 \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} は 1 です。

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

極限 \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} の値を求めるには、まず分子と分母を \cos(h)+1 で乗算します。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

\cos(h)+1 と \cos(h)-1 を乗算します。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

ピタゴラスの公式を使用します。

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

極限を書き換えます。

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

極限 \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} は 1 です。

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} が 0 で連続であるという事実を使用します。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

値 0 を式 \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x) に代入します。

$$\cos(x)$$

x で微分する

$$-\sin(x)$$