{[(1/2a-2/3b)(1/2a+2/3b)^{3}-(frac{1}{4}a^{2}-frac{4}{9}b^{2})(frac{4}{9}b^{2}+frac{1}{4}a^2)]-frac{1}{3}ab(frac{1}{2}a^2+frac{1}{9}b^2)}^3 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\{ [ ( \frac { 1 } { 2 } a - \frac { 2 } { 3 } b ) ( \frac { 1 } { 2 } a + \frac { 2 } { 3 } b ) ^ { 3 } - ( \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } - \frac { 4 } { 9 } b ^ { 2 } ) ( \frac { 4 } { 9 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } ) ] - \frac { 1 } { 3 } a b ( \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 9 } b ^ { 2 } ) \} ^ { 3 }$$

計算

$$-\frac{a^{3}b^{9}}{27}$$

解の手順

二項定理の \left(p+q\right)^{3}=p^{3}+3p^{2}q+3pq^{2}+q^{3} を使用して \left(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b\right)^{3} を展開します。

$$\left(\left(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3}\right)-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

分配則を使用して \frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b と \frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3} を乗算して同類項をまとめます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right) を検討してください。 乗算は、ルール \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} を使用して残差平方和に変換することができます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2} を展開します。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

数値を累乗するには、指数を乗算します。2 と 2 を乗算して 4 を取得します。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\frac{1}{4} の 2 乗を計算して \frac{1}{16} を求めます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2} を展開します。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\left(b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

数値を累乗するには、指数を乗算します。2 と 2 を乗算して 4 を取得します。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\frac{4}{9} の 2 乗を計算して \frac{16}{81} を求めます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4} の反数を求めるには、各項の半数を求めます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{16}a^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\frac{1}{16}a^{4} と -\frac{1}{16}a^{4} をまとめて 0 を求めます。

$$\left(\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

-\frac{16}{81}b^{4} と \frac{16}{81}b^{4} をまとめて 0 を求めます。

$$\left(\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

分配則を使用して -\frac{1}{3}ab と \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2} を乗算します。

$$\left(\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{1}{27}ab^{3}\right)^{3}$$

\frac{1}{6}a^{3}b と -\frac{1}{6}a^{3}b をまとめて 0 を求めます。

$$\left(-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{27}ab^{3}\right)^{3}$$

-\frac{8}{27}ab^{3} と -\frac{1}{27}ab^{3} をまとめて -\frac{1}{3}ab^{3} を求めます。

$$\left(-\frac{1}{3}ab^{3}\right)^{3}$$

\left(-\frac{1}{3}ab^{3}\right)^{3} を展開します。

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}a^{3}\left(b^{3}\right)^{3}$$

数値を累乗するには、指数を乗算します。3 と 3 を乗算して 9 を取得します。

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}a^{3}b^{9}$$

-\frac{1}{3} の 3 乗を計算して -\frac{1}{27} を求めます。

$$-\frac{1}{27}a^{3}b^{9}$$

展開

$$-\frac{a^{3}b^{9}}{27}$$

解の手順

二項定理の \left(p+q\right)^{3}=p^{3}+3p^{2}q+3pq^{2}+q^{3} を使用して \left(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b\right)^{3} を展開します。

$$\left(\left(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3}\right)-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

分配則を使用して \frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b と \frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3} を乗算して同類項をまとめます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right) を検討してください。 乗算は、ルール \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} を使用して残差平方和に変換することができます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2} を展開します。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

数値を累乗するには、指数を乗算します。2 と 2 を乗算して 4 を取得します。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\frac{1}{4} の 2 乗を計算して \frac{1}{16} を求めます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2} を展開します。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\left(b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

数値を累乗するには、指数を乗算します。2 と 2 を乗算して 4 を取得します。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\frac{4}{9} の 2 乗を計算して \frac{16}{81} を求めます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4} の反数を求めるには、各項の半数を求めます。

$$\left(\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{16}a^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

\frac{1}{16}a^{4} と -\frac{1}{16}a^{4} をまとめて 0 を求めます。

$$\left(\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

-\frac{16}{81}b^{4} と \frac{16}{81}b^{4} をまとめて 0 を求めます。

$$\left(\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)\right)^{3}$$

分配則を使用して -\frac{1}{3}ab と \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2} を乗算します。

$$\left(\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{1}{27}ab^{3}\right)^{3}$$

\frac{1}{6}a^{3}b と -\frac{1}{6}a^{3}b をまとめて 0 を求めます。

$$\left(-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{27}ab^{3}\right)^{3}$$

-\frac{8}{27}ab^{3} と -\frac{1}{27}ab^{3} をまとめて -\frac{1}{3}ab^{3} を求めます。

$$\left(-\frac{1}{3}ab^{3}\right)^{3}$$

\left(-\frac{1}{3}ab^{3}\right)^{3} を展開します。

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}a^{3}\left(b^{3}\right)^{3}$$

数値を累乗するには、指数を乗算します。3 と 3 を乗算して 9 を取得します。

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}a^{3}b^{9}$$

-\frac{1}{3} の 3 乗を計算して -\frac{1}{27} を求めます。

$$-\frac{1}{27}a^{3}b^{9}$$