Risolvi {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai 5y da entrambi i lati.

$$x-5y=5$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x-5y=5$$

Aggiungi 5y a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5y+5$$

Sostituisci 5+5y a x nell'altra equazione 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Moltiplica 6 per 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Aggiungi 30y a -4y.

$$26y+30=7$$

Sottrai 30 da entrambi i lati dell'equazione.

$$26y=-23$$

Dividi entrambi i lati per 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Sostituisci -\frac{23}{26} a y in x=5y+5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Moltiplica 5 per -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Aggiungi 5 a -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai 5y da entrambi i lati.

$$x-5y=5$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai 5y da entrambi i lati.

$$x-5y=5$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Per rendere x e 6x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 6 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Semplifica.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Sottrai 6x-4y=7 a 6x-30y=30 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Aggiungi 6x a -6x. I termini 6x e -6x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-30y+4y=30-7$$

Aggiungi -30y a 4y.

$$-26y=30-7$$

Aggiungi 30 a -7.

$$-26y=23$$

Dividi entrambi i lati per -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Sostituisci -\frac{23}{26} a y in 6x-4y=7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Moltiplica -4 per -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Sottrai \frac{46}{13} da entrambi i lati dell'equazione.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$