Risolvi {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$8x+2y=46$$

Sottrai 2y da entrambi i lati dell'equazione.

$$8x=-2y+46$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Moltiplica \frac{1}{8} per -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Sostituisci \frac{-y+23}{4} a x nell'altra equazione 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Moltiplica 7 per \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Aggiungi -\frac{7y}{4} a 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Sottrai \frac{161}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{5}{4}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=\frac{27}{5}$$

Sostituisci \frac{27}{5} a y in x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Moltiplica -\frac{1}{4} per \frac{27}{5} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Aggiungi \frac{23}{4} a -\frac{27}{20} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{22}{5}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Per rendere 8x e 7x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 7 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Semplifica.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Sottrai 56x+24y=376 a 56x+14y=322 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Aggiungi 56x a -56x. I termini 56x e -56x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$14y-24y=322-376$$

Aggiungi 14y a -24y.

$$-10y=322-376$$

Aggiungi 322 a -376.

$$-10y=-54$$

Dividi entrambi i lati per -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Sostituisci \frac{27}{5} a y in 7x+3y=47. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Moltiplica 3 per \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Sottrai \frac{81}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$