Leysa {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$x-5y=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-5y=5$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=5y+5$$

Settu 5+5y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Margfaldaðu 6 sinnum 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Leggðu 30y saman við -4y.

$$26y+30=7$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$26y=-23$$

Deildu báðum hliðum með 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Skiptu -\frac{23}{26} út fyrir y í x=5y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$x-5y=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5y frá báðum hliðum.

$$x-5y=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Til að gera x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Einfaldaðu.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Dragðu 6x-4y=7 frá 6x-30y=30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-30y+4y=30-7$$

Leggðu -30y saman við 4y.

$$-26y=30-7$$

Leggðu 30 saman við -7.

$$-26y=23$$

Deildu báðum hliðum með -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Skiptu -\frac{23}{26} út fyrir y í 6x-4y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Dragðu \frac{46}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$