Selesaikan {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 5y dari kedua sisi.

$$x-5y=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x-5y=5$$

Tambahkan 5y ke kedua sisi persamaan.

$$x=5y+5$$

Ganti 5+5y untuk x di persamaan lain, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Kalikan 6 kali 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Tambahkan 30y sampai -4y.

$$26y+30=7$$

Kurangi 30 dari kedua sisi persamaan.

$$26y=-23$$

Bagi kedua sisi dengan 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Ganti -\frac{23}{26} untuk y dalam x=5y+5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Kalikan 5 kali -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Tambahkan 5 sampai -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 5y dari kedua sisi.

$$x-5y=5$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 5y dari kedua sisi.

$$x-5y=5$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Untuk menjadikan x dan 6x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 6 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Sederhanakan.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Kurangi 6x-4y=7 dari 6x-30y=30 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Tambahkan 6x sampai -6x. Suku 6x dan -6x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-30y+4y=30-7$$

Tambahkan -30y sampai 4y.

$$-26y=30-7$$

Tambahkan 30 sampai -7.

$$-26y=23$$

Bagi kedua sisi dengan -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Ganti -\frac{23}{26} untuk y dalam 6x-4y=7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Kalikan -4 kali -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Kurangi \frac{46}{13} dari kedua sisi persamaan.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Bagi kedua sisi dengan 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$