Selesaikan {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$8x+2y=46$$

Kurangi 2y dari kedua sisi persamaan.

$$8x=-2y+46$$

Bagi kedua sisi dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Kalikan \frac{1}{8} kali -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Ganti \frac{-y+23}{4} untuk x di persamaan lain, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Kalikan 7 kali \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Tambahkan -\frac{7y}{4} sampai 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Kurangi \frac{161}{4} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{5}{4}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=\frac{27}{5}$$

Ganti \frac{27}{5} untuk y dalam x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Kalikan -\frac{1}{4} kali \frac{27}{5} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Tambahkan \frac{23}{4} ke -\frac{27}{20} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Untuk menjadikan 8x dan 7x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 7 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Sederhanakan.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Kurangi 56x+24y=376 dari 56x+14y=322 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Tambahkan 56x sampai -56x. Istilah 56x dan -56x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$14y-24y=322-376$$

Tambahkan 14y sampai -24y.

$$-10y=322-376$$

Tambahkan 322 sampai -376.

$$-10y=-54$$

Bagi kedua sisi dengan -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Ganti \frac{27}{5} untuk y dalam 7x+3y=47. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Kalikan 3 kali \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Kurangi \frac{81}{5} dari kedua sisi persamaan.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Bagi kedua sisi dengan 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$