{l}{x=5y+5}{6x-4y=7} megoldása

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5y.

$$x-5y=5$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x-5y=5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5y.

$$x=5y+5$$

Behelyettesítjük a(z) 5+5y értéket x helyére a másik, 6x-4y=7 egyenletben.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Összeszorozzuk a következőket: 6 és 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Összeadjuk a következőket: 30y és -4y.

$$26y+30=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 30.

$$26y=-23$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

A(z) x=5y+5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{23}{26}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Összeadjuk a következőket: 5 és -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5y.

$$x-5y=5$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5y.

$$x-5y=5$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

x és 6x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 6, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Egyszerűsítünk.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

6x-4y=7 kivonása a következőből: 6x-30y=30: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Összeadjuk a következőket: 6x és -6x. 6x és -6x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-30y+4y=30-7$$

Összeadjuk a következőket: -30y és 4y.

$$-26y=30-7$$

Összeadjuk a következőket: 30 és -7.

$$-26y=23$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

A(z) 6x-4y=7 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{23}{26}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{46}{13}.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$