Riješi {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Izračunaj x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 5y od obiju strana.

$$x-5y=5$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$x-5y=5$$

Dodajte 5y objema stranama jednadžbe.

$$x=5y+5$$

Supstituirajte 5+5y s x u drugoj jednadžbi, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Pomnožite 6 i 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Dodaj 30y broju -4y.

$$26y+30=7$$

Oduzmite 30 od obiju strana jednadžbe.

$$26y=-23$$

Podijelite obje strane sa 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Supstituirajte -\frac{23}{26} s y u izrazu x=5y+5. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Pomnožite 5 i -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Dodaj 5 broju -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 5y od obiju strana.

$$x-5y=5$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite 5y od obiju strana.

$$x-5y=5$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Da biste izjednačili x i 6x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 6 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Pojednostavnite.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Oduzmite 6x-4y=7 od 6x-30y=30 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Dodaj 6x broju -6x. Uvjeti 6x i -6x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-30y+4y=30-7$$

Dodaj -30y broju 4y.

$$-26y=30-7$$

Dodaj 30 broju -7.

$$-26y=23$$

Podijelite obje strane sa -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Supstituirajte -\frac{23}{26} s y u izrazu 6x-4y=7. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Pomnožite -4 i -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Oduzmite \frac{46}{13} od obiju strana jednadžbe.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Podijelite obje strane sa 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$