Riješi {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Izračunaj x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$8x+2y=46$$

Oduzmite 2y od obiju strana jednadžbe.

$$8x=-2y+46$$

Podijelite obje strane sa 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Pomnožite \frac{1}{8} i -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Supstituirajte \frac{-y+23}{4} s x u drugoj jednadžbi, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Pomnožite 7 i \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Dodaj -\frac{7y}{4} broju 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Oduzmite \frac{161}{4} od obiju strana jednadžbe.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{5}{4}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=\frac{27}{5}$$

Supstituirajte \frac{27}{5} s y u izrazu x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Pomnožite -\frac{1}{4} i \frac{27}{5} tako da pomnožite brojnik s brojnikom i nazivnik s nazivnikom. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Dodajte \frac{23}{4} broju -\frac{27}{20} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=\frac{22}{5}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Da biste izjednačili 8x i 7x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 7 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Pojednostavnite.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Oduzmite 56x+24y=376 od 56x+14y=322 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Dodaj 56x broju -56x. Uvjeti 56x i -56x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$14y-24y=322-376$$

Dodaj 14y broju -24y.

$$-10y=322-376$$

Dodaj 322 broju -376.

$$-10y=-54$$

Podijelite obje strane sa -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Supstituirajte \frac{27}{5} s y u izrazu 7x+3y=47. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Pomnožite 3 i \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Oduzmite \frac{81}{5} od obiju strana jednadžbe.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Podijelite obje strane sa 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$