פתור את {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5y משני האגפים.

$$x-5y=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-5y=5$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$x=5y+5$$

השתמש ב- ‎5+5y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

הכפל את ‎6 ב- ‎5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

הוסף את ‎30y ל- ‎-4y.

$$26y+30=7$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$26y=-23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

השתמש ב- ‎-\frac{23}{26} במקום y ב- ‎x=5y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5y משני האגפים.

$$x-5y=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5y משני האגפים.

$$x-5y=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

פשט.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

החסר את ‎6x-4y=7 מ- ‎6x-30y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30y+4y=30-7$$

הוסף את ‎-30y ל- ‎4y.

$$-26y=30-7$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-7.

$$-26y=23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

השתמש ב- ‎-\frac{23}{26} במקום y ב- ‎6x-4y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

החסר ‎\frac{46}{13} משני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{45}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{15}{26}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$