Mετάβαση στο κυρίως περιεχόμενο
cosine, x
Διαφόριση ως προς x
Tick mark Image
Υπολογισμός
Tick mark Image
Γράφημα

Κοινοποίηση

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)
Για μια συνάρτηση f\left(x\right), η παράγωγος είναι το όριο της \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} όταν η h τείνει στο 0, εάν υπάρχει αυτό το όριο.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}
Χρησιμοποιήστε τον τύπο αθροίσματος συνημίτονων.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}
Παραγοντοποιήστε το \cos(x).
\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Γράψτε ξανά το όριο.
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι το x είναι μια σταθερά κατά τον υπολογισμό των ορίων όταν το h τείνει στο 0.
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)
Το όριο \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} είναι 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Για να υπολογίσετε το όριο \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, πρώτα πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Πολλαπλασιάστε το \cos(h)+1 επί \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα του Πυθαγόρα.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Γράψτε ξανά το όριο.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Το όριο \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} είναι 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} είναι συνεχής στο 0.
-\sin(x)
Αντικαταστήστε την τιμή 0 στην παράσταση \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x).