Løs {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Løs for x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Subtraher 5y fra begge sider.

$$x-5y=5$$

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.

$$x-5y=5$$

Adder 5y på begge sider af ligningen.

$$x=5y+5$$

Substituer 5+5y for x i den anden ligning, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Multiplicer 6 gange 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Adder 30y til -4y.

$$26y+30=7$$

Subtraher 30 fra begge sider af ligningen.

$$26y=-23$$

Divider begge sider med 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substituer -\frac{23}{26} for y i x=5y+5. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Multiplicer 5 gange -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Adder 5 til -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systemet er nu løst.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Subtraher 5y fra begge sider.

$$x-5y=5$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrixen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et matrixmultiplikationsproblem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Subtraher 5y fra begge sider.

$$x-5y=5$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Hvis x og 6x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med 6 og alle led på hver side af den anden ligning med 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Forenkling.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Subtraher 6x-4y=7 fra 6x-30y=30 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Adder 6x til -6x. Leddene 6x og -6x udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$-30y+4y=30-7$$

Adder -30y til 4y.

$$-26y=30-7$$

Adder 30 til -7.

$$-26y=23$$

Divider begge sider med -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substituer -\frac{23}{26} for y i 6x-4y=7. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Multiplicer -4 gange -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Subtraher \frac{46}{13} fra begge sider af ligningen.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Divider begge sider med 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Systemet er nu løst.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$