Vyřešit z^2-iz-1=0

$$z ^ { 2 } - i z - 1 = 0$$

Vyřešte pro: z

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx 0,866025404+0,5i$$

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx -0,866025404+0,5i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -i za b a -1 za c.

$$z=\frac{i±\sqrt{\left(-i\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Umocněte číslo -i na druhou.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1+4}}{2}$$

Přidejte uživatele -1 do skupiny 4.

$$z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele i do skupiny \sqrt{3}.

$$z=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

Vydělte číslo i+\sqrt{3} číslem 2.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Teď vyřešte rovnici z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{3} od čísla i.

$$z=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$$

Vydělte číslo i-\sqrt{3} číslem 2.

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Připočítejte 1 k oběma stranám rovnice.

$$z^{2}-iz-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odečtením čísla -1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$z^{2}-iz=-\left(-1\right)$$

Odečtěte číslo -1 od čísla 0.

$$z^{2}-iz=1$$

Vydělte -i, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{1}{2}i. Potom přidejte čtvereček -\frac{1}{2}i na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$z^{2}-iz+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}$$

Umocněte číslo -\frac{1}{2}i na druhou.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny -\frac{1}{4}.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Činitel z^{2}-iz-\frac{1}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$z-\frac{1}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2} z-\frac{1}{2}i=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2}i k oběma stranám rovnice.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$