Vyřešit y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro y izolováním y na levé straně rovnice.

$$y-3x=2$$

Připočítejte 3x k oběma stranám rovnice.

$$y=3x+2$$

Dosaďte 3x+2 za y ve druhé rovnici, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Vynásobte číslo -2 číslem 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Přidejte uživatele -6x do skupiny 7x.

$$x-4=8$$

Připočítejte 4 k oběma stranám rovnice.

$$x=12$$

V rovnici y=3x+2 dosaďte x za proměnnou 12. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=3\times 12+2$$

Vynásobte číslo 3 číslem 12.

$$y=36+2$$

Přidejte uživatele 2 do skupiny 36.

$$y=38$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=38,x=12$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=38,x=12$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Pokud chcete, aby byly členy y a -2y stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -2 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Proveďte zjednodušení.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Odečtěte rovnici -2y+7x=8 od rovnice -2y+6x=-4 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Přidejte uživatele -2y do skupiny 2y. Členy -2y a 2y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$6x-7x=-4-8$$

Přidejte uživatele 6x do skupiny -7x.

$$-x=-4-8$$

Přidejte uživatele -4 do skupiny -8.

$$-x=-12$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$x=12$$

V rovnici -2y+7x=8 dosaďte x za proměnnou 12. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$-2y+7\times 12=8$$

Vynásobte číslo 7 číslem 12.

$$-2y+84=8$$

Odečtěte hodnotu 84 od obou stran rovnice.

$$-2y=-76$$

Vydělte obě strany hodnotou -2.

$$y=38$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=38,x=12$$