Vyřešit y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=-1$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro y izolováním y na levé straně rovnice.

$$y-2x=-1$$

Připočítejte 2x k oběma stranám rovnice.

$$y=2x-1$$

Dosaďte 2x-1 za y ve druhé rovnici, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Přidejte uživatele 2x do skupiny 2x.

$$4x-1=3$$

Připočítejte 1 k oběma stranám rovnice.

$$4x=4$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=1$$

V rovnici y=2x-1 dosaďte x za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=2-1$$

Přidejte uživatele -1 do skupiny 2.

$$y=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=1,x=1$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=-1$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=1,x=1$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=-1$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Odečtěte rovnici y+2x=3 od rovnice y-2x=-1 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-2x-2x=-1-3$$

Přidejte uživatele -2x do skupiny -2x.

$$-4x=-1-3$$

Přidejte uživatele -1 do skupiny -3.

$$-4x=-4$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$x=1$$

V rovnici y+2x=3 dosaďte x za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y+2=3$$

Odečtěte hodnotu 2 od obou stran rovnice.

$$y=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=1,x=1$$