Vyřešit y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte \frac{4}{3}x od obou stran.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=8$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji y izolováním y na levé straně rovnice.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Připočítejte \frac{4x}{3} k oběma stranám rovnice.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Dosaďte \frac{-28+4x}{3} za y ve druhé rovnici, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Přidejte uživatele \frac{4x}{3} do skupiny -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Připočítejte \frac{28}{3} k oběma stranám rovnice.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{2}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$x=-26$$

V rovnici y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3} dosaďte x za proměnnou -26. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Vynásobte číslo \frac{4}{3} číslem -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Připočítejte -\frac{28}{3} ke -\frac{104}{3} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$y=-44$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=-44,x=-26$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte \frac{4}{3}x od obou stran.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=8$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=-44,x=-26$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte \frac{4}{3}x od obou stran.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Zvažte použití druhé rovnice. Odečtěte 2x od obou stran.

$$y-2x=8$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Odečtěte rovnici y-2x=8 od rovnice y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Přidejte uživatele -\frac{4x}{3} do skupiny 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Přidejte uživatele -\frac{28}{3} do skupiny -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{2}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$x=-26$$

V rovnici y-2x=8 dosaďte x za proměnnou -26. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Vynásobte číslo -2 číslem -26.

$$y+52=8$$

Odečtěte hodnotu 52 od obou stran rovnice.

$$y=-44$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=-44,x=-26$$