Vyřešit y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Vyřešte pro: y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte \frac{1}{3}x od obou stran.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 3x na obě strany.

$$y+3x=60$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro y izolováním y na levé straně rovnice.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Připočítejte \frac{x}{3} k oběma stranám rovnice.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Dosaďte \frac{x}{3} za y ve druhé rovnici, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Přidejte uživatele \frac{x}{3} do skupiny 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{10}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$x=18$$

V rovnici y=\frac{1}{3}x dosaďte x za proměnnou 18. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem 18.

$$y=6$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=6,x=18$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte \frac{1}{3}x od obou stran.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 3x na obě strany.

$$y+3x=60$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice y a x.

$$y=6,x=18$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte \frac{1}{3}x od obou stran.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 3x na obě strany.

$$y+3x=60$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Odečtěte rovnici y+3x=60 od rovnice y-\frac{1}{3}x=0 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Přidejte uživatele y do skupiny -y. Členy y a -y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Přidejte uživatele -\frac{x}{3} do skupiny -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{10}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$x=18$$

V rovnici y+3x=60 dosaďte x za proměnnou 18. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$y+3\times 18=60$$

Vynásobte číslo 3 číslem 18.

$$y+54=60$$

Odečtěte hodnotu 54 od obou stran rovnice.

$$y=6$$

Systém je teď vyřešený.

$$y=6,x=18$$