Vyřešit x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x-y=5$$

Připočítejte y k oběma stranám rovnice.

$$x=y+5$$

Dosaďte y+5 za x ve druhé rovnici, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Vynásobte číslo -4 číslem y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Přidejte uživatele -4y do skupiny 5y.

$$y-20=7$$

Připočítejte 20 k oběma stranám rovnice.

$$y=27$$

V rovnici x=y+5 dosaďte y za proměnnou 27. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=27+5$$

Přidejte uživatele 5 do skupiny 27.

$$x=32$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=32,y=27$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=32,y=27$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Pokud chcete, aby byly členy x a -4x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Proveďte zjednodušení.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Odečtěte rovnici -4x+5y=7 od rovnice -4x+4y=-20 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Přidejte uživatele -4x do skupiny 4x. Členy -4x a 4x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$4y-5y=-20-7$$

Přidejte uživatele 4y do skupiny -5y.

$$-y=-20-7$$

Přidejte uživatele -20 do skupiny -7.

$$-y=-27$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$y=27$$

V rovnici -4x+5y=7 dosaďte y za proměnnou 27. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$-4x+5\times 27=7$$

Vynásobte číslo 5 číslem 27.

$$-4x+135=7$$

Odečtěte hodnotu 135 od obou stran rovnice.

$$-4x=-128$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$x=32$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=32,y=27$$