Vyřešit x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x-3y=7$$

Připočítejte 3y k oběma stranám rovnice.

$$x=3y+7$$

Dosaďte 3y+7 za x ve druhé rovnici, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Vynásobte číslo 3 číslem 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Přidejte uživatele 9y do skupiny 3y.

$$12y+21=9$$

Odečtěte hodnotu 21 od obou stran rovnice.

$$12y=-12$$

Vydělte obě strany hodnotou 12.

$$y=-1$$

V rovnici x=3y+7 dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Vynásobte číslo 3 číslem -1.

$$x=-3+7$$

Přidejte uživatele 7 do skupiny -3.

$$x=4$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=4,y=-1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=4,y=-1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Pokud chcete, aby byly členy x a 3x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 3 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Proveďte zjednodušení.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Odečtěte rovnici 3x+3y=9 od rovnice 3x-9y=21 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Přidejte uživatele 3x do skupiny -3x. Členy 3x a -3x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-9y-3y=21-9$$

Přidejte uživatele -9y do skupiny -3y.

$$-12y=21-9$$

Přidejte uživatele 21 do skupiny -9.

$$-12y=12$$

Vydělte obě strany hodnotou -12.

$$y=-1$$

V rovnici 3x+3y=9 dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Vynásobte číslo 3 číslem -1.

$$3x-3=9$$

Připočítejte 3 k oběma stranám rovnice.

$$3x=12$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=4$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=4,y=-1$$