Vyřešit x(x-8)(x-4)^2=225

$$x ( x - 8 ) ( x - 4 ) ^ { 2 } = 225$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=9$$

$$x=4-3i$$

$$x=4+3i$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-4\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x\left(x-8\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x číslem x-8.

$$\left(x^{2}-8x\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}-8x číslem x^{2}-8x+16 a slučte stejné členy.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x=225$$

Odečtěte 225 od obou stran.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -225 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-1$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225 číslem x+1 a dostanete x^{3}-17x^{2}+97x-225. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{3}-17x^{2}+97x-225=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -225 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=9$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}-17x^{2}+97x-225 číslem x-9 a dostanete x^{2}-8x+25. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}-8x+25=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -8 a c hodnotou 25.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 25}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{8±\sqrt{-36}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x^{2}-8x+25=0 rovnice.

$$x=4-3i x=4+3i$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=-1 x=9 x=4-3i x=4+3i$$

Vyřešte pro: x

$$x=9$$

$$x=-1$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-4\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x\left(x-8\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x číslem x-8.

$$\left(x^{2}-8x\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}-8x číslem x^{2}-8x+16 a slučte stejné členy.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x=225$$

Odečtěte 225 od obou stran.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -225 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-1$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225 číslem x+1 a dostanete x^{3}-17x^{2}+97x-225. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{3}-17x^{2}+97x-225=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -225 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=9$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}-17x^{2}+97x-225 číslem x-9 a dostanete x^{2}-8x+25. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}-8x+25=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -8 a c hodnotou 25.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 25}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{8±\sqrt{-36}}{2}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=-1 x=9$$