Vyřešit x^4-4x^3-25x^2+16x+84=0

$$x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 25 x ^ { 2 } + 16 x + 84 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=2$$

$$x=7$$

$$x=-2$$

$$x=-3$$

Postup řešení

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 84 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±84,±42,±28,±21,±14,±12,±7,±6,±4,±3,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=2$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+16x+84 číslem x-2 a dostanete x^{3}-2x^{2}-29x-42. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{3}-2x^{2}-29x-42=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -42 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-2$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}-2x^{2}-29x-42 číslem x+2 a dostanete x^{2}-4x-21. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -4 a c hodnotou -21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x^{2}-4x-21=0 rovnice.

$$x=-3 x=7$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=2 x=-2 x=-3 x=7$$