Vyřešit x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Rozložit

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Postup řešení

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 40 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Jeden takový kořen je -5. Součinitele polynomu rozdělíte x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Zvažte x^{3}+x^{2}-10x+8. Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 8 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Jeden takový kořen je -4. Součinitele polynomu rozdělíte x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Zvažte x^{2}-3x+2. Roznásobte výraz podle seskupení. Nejprve musí být výraz přepsán jako x^{2}+ax+bx+2. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Jediná taková dvojice představuje systémové řešení.

$$a=-2 b=-1$$

Zapište x^{2}-3x+2 jako: \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Koeficient x v prvním a -1 ve druhé skupině.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Vytkněte společný člen x-2 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Přepište celý rozložený výraz.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Vyhodnotit

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$