Vyřešit x^2-x-40geq0

$$x ^ { 2 } - x - 40 \geq 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{161}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{161}+1}{2},\infty)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-40=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -1 a c hodnotou -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-40\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{1±\sqrt{161}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{1±\sqrt{161}}{2} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{161}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{161}}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} obojí ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}$$

Zvažte případ, kdy x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} obojí ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}$$