Vyřešit x^2-3sqrt{2x^2-7}=1

$$x ^ { 2 } - 3 \sqrt { 2 x ^ { 2 } - 7 } = 1$$

Vyřešte pro: x

$$x=-4$$

$$x=4$$

$$x=2$$

$$x=-2$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu x^{2} od obou stran rovnice.

$$-3\sqrt{2x^{2}-7}=1-x^{2}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(-3\sqrt{2x^{2}-7}\right)^{2}=\left(1-x^{2}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-3\sqrt{2x^{2}-7}\right)^{2}.

$$\left(-3\right)^{2}\left(\sqrt{2x^{2}-7}\right)^{2}=\left(1-x^{2}\right)^{2}$$

Výpočtem -3 na 2 získáte 9.

$$9\left(\sqrt{2x^{2}-7}\right)^{2}=\left(1-x^{2}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x^{2}-7} na 2 získáte 2x^{2}-7.

$$9\left(2x^{2}-7\right)=\left(1-x^{2}\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 9 číslem 2x^{2}-7.

$$18x^{2}-63=\left(1-x^{2}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(1-x^{2}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$18x^{2}-63=1-2x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 2 a 2 získáte 4.

$$18x^{2}-63=1-2x^{2}+x^{4}$$

Odečtěte 1 od obou stran.

$$18x^{2}-63-1=-2x^{2}+x^{4}$$

Odečtěte 1 od -63 a dostanete -64.

$$18x^{2}-64=-2x^{2}+x^{4}$$

Přidat 2x^{2} na obě strany.

$$18x^{2}-64+2x^{2}=x^{4}$$

Sloučením 18x^{2} a 2x^{2} získáte 20x^{2}.

$$20x^{2}-64=x^{4}$$

Odečtěte x^{4} od obou stran.

$$20x^{2}-64-x^{4}=0$$

Nahraďtet za x^{2}.

$$-t^{2}+20t-64=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou -1, b hodnotou 20 a c hodnotou -64.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-64\right)}}{-2}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{-20±12}{-2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{-20±12}{-2} rovnice.

$$t=4 t=16$$

Od x=t^{2} jsou řešení získána vyhodnocením x=±\sqrt{t} pro každou t.

$$x=2 x=-2 x=4 x=-4$$

Dosaďte 2 za x v rovnici x^{2}-3\sqrt{2x^{2}-7}=1.

$$2^{2}-3\sqrt{2\times 2^{2}-7}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=2 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Dosaďte -2 za x v rovnici x^{2}-3\sqrt{2x^{2}-7}=1.

$$\left(-2\right)^{2}-3\sqrt{2\left(-2\right)^{2}-7}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-2 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Dosaďte 4 za x v rovnici x^{2}-3\sqrt{2x^{2}-7}=1.

$$4^{2}-3\sqrt{2\times 4^{2}-7}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=4 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Dosaďte -4 za x v rovnici x^{2}-3\sqrt{2x^{2}-7}=1.

$$\left(-4\right)^{2}-3\sqrt{2\left(-4\right)^{2}-7}=1$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-4 splňuje požadavky rovnice.

$$1=1$$

Seznam všech řešení rovnice -3\sqrt{2x^{2}-7}=1-x^{2}.

$$x=2 x=-2 x=4 x=-4$$