Vyřešit x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -2 a c hodnotou -5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} rovnice.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Aby byl přípravek záporný, x-\left(\sqrt{6}+1\right) a x-\left(1-\sqrt{6}\right) musí být opačným znaménkem. Předpokládejme, že výraz x-\left(\sqrt{6}+1\right) je kladný a výraz x-\left(1-\sqrt{6}\right) je záporný.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz x-\left(1-\sqrt{6}\right) je kladný a výraz x-\left(\sqrt{6}+1\right) je záporný.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$