Vyřešit x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=6$$

$$x=7$$

Postup použití rozkladu

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte x^{2}-13x+42 podle vzorce: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-13 ab=42$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 42 produktu.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Řešením je dvojice se součtem -13.

$$a=-7 b=-6$$

Přepište rozložený výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomocí získaných hodnot.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-7=0 a x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: x^{2}+ax+bx+42. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 42 produktu.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Řešením je dvojice se součtem -13.

$$a=-7 b=-6$$

Zapište x^{2}-13x+42 jako: \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Vytkněte x z první závorky a -6 z druhé závorky.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Vytkněte společný člen x-7 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-7=0 a x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -13 za b a 42 za c.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Umocněte číslo -13 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Přidejte uživatele 169 do skupiny -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Opakem -13 je 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{13±1}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 13 do skupiny 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Vydělte číslo 14 číslem 2.

$$x=7$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{13±1}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 1 od čísla 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Vydělte číslo 12 číslem 2.

$$x=6$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=7 x=6$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Odečtěte hodnotu 42 od obou stran rovnice.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Odečtením čísla 42 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Koeficient (tj. -13) členu x vydělte číslem 2, abyste získali -\frac{13}{2}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu -\frac{13}{2}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{13}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Přidejte uživatele -42 do skupiny \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Rozložte rovnici x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Připočítejte \frac{13}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=7 x=6$$