Vyřešit x^2+7x-78=42

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

Vyřešte pro: x

$$x=-15$$

$$x=8$$

Postup použití rozkladu

Odečtěte 42 od obou stran.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Odečtěte 42 od -78 a dostanete -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, součinitel x^{2}+7x-120 použijte vzorec x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=7 ab=-120$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -120 produktu.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Řešením je dvojice se součtem 7.

$$a=-8 b=15$$

Přepište rozložený výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomocí získaných hodnot.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-8=0 a x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 42 od obou stran.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Odečtěte 42 od -78 a dostanete -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako x^{2}+ax+bx-120. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -120 produktu.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Řešením je dvojice se součtem 7.

$$a=-8 b=15$$

Zapište x^{2}+7x-120 jako: \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

Koeficient x v prvním a 15 ve druhé skupině.

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

Vytkněte společný člen x-8 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-8=0 a x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Odečtěte hodnotu 42 od obou stran rovnice.

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

Odečtením čísla 42 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Odečtěte číslo 42 od čísla -78.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, 7 za b a -120 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Umocněte číslo 7 na druhou.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

Přidejte uživatele 49 do skupiny 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 529.

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-7±23}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -7 do skupiny 23.

$$x=\frac{16}{2}$$

Vydělte číslo 16 číslem 2.

$$x=8$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-7±23}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 23 od čísla -7.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Vydělte číslo -30 číslem 2.

$$x=-15$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=8 x=-15$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Připočítejte 78 k oběma stranám rovnice.

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

Odečtením čísla -78 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

Odečtěte číslo -78 od čísla 42.

$$x^{2}+7x=120$$

Vydělte 7, koeficient x termínu 2 k získání \frac{7}{2}. Potom přidejte čtvereček \frac{7}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{7}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

Přidejte uživatele 120 do skupiny \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

Činitel x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

Odečtěte hodnotu \frac{7}{2} od obou stran rovnice.

$$x=8 x=-15$$