Vyřešit x^2+3x-20/x^2+3x=8

$$x ^ { 2 } + 3 x - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 3 x } = 8$$

Vyřešte pro: x

$$x=-2$$

$$x=-1$$

$$x=2$$

$$x=-5$$

Postup řešení

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -3,0, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice hodnotou x\left(x+3\right).

$$x\left(x+3\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x číslem x+3.

$$\left(x^{2}+3x\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x^{2}+3x číslem x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Vynásobením x a x získáte x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 3x^{2} číslem x+3.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Sloučením 3x^{3} a 3x^{3} získáte 6x^{3}.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 8x číslem x+3.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x^{2}+24x$$

Odečtěte 8x^{2} od obou stran.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20-8x^{2}=24x$$

Sloučením 9x^{2} a -8x^{2} získáte x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20=24x$$

Odečtěte 24x od obou stran.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20-24x=0$$

Změňte uspořádání rovnice do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -20 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-1$$

Podle definice kořenového činitele představuje x-k kořenový činitel polynomu pro každý kořen k. Vydělte číslo x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20 číslem x+1 a dostanete x^{3}+5x^{2}-4x-20. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{3}+5x^{2}-4x-20=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -20 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=2$$

Podle definice kořenového činitele představuje x-k kořenový činitel polynomu pro každý kořen k. Vydělte číslo x^{3}+5x^{2}-4x-20 číslem x-2 a dostanete x^{2}+7x+10. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 7 a c hodnotou 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Řešení rovnice x^{2}+7x+10=0 při ± je plus a při ± je mínus.

$$x=-5 x=-2$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=-1 x=2 x=-5 x=-2$$