Vyřešit x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Vyřešte pro: x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu x^{2}+11 od obou stran rovnice.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k x^{2}+11, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Odečtěte 11 od 42 a dostanete 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{x^{2}+11} na 2 získáte x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(31-x^{2}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 2 a 2 získáte 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Odečtěte 961 od obou stran.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Odečtěte 961 od 11 a dostanete -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Přidat 62x^{2} na obě strany.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Sloučením x^{2} a 62x^{2} získáte 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Odečtěte x^{4} od obou stran.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Nahraďtet za x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou -1, b hodnotou 63 a c hodnotou -950.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{-63±13}{-2} rovnice.

$$t=25 t=38$$

Od x=t^{2} jsou řešení získána vyhodnocením x=±\sqrt{t} pro každou t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Dosaďte 5 za x v rovnici x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=5 splňuje požadavky rovnice.

$$42=42$$

Dosaďte -5 za x v rovnici x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=-5 splňuje požadavky rovnice.

$$42=42$$

Dosaďte \sqrt{38} za x v rovnici x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Proveďte zjednodušení. x=\sqrt{38} hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$56=42$$

Dosaďte -\sqrt{38} za x v rovnici x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Proveďte zjednodušení. x=-\sqrt{38} hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$56=42$$

Seznam všech řešení rovnice \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$