Vyřešit x^2+(3-x)^2=sqrt{5}

$$x ^ { 2 } + ( 3 - x ) ^ { 2 } = \sqrt { 5 }$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{3+i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2}\approx 1,5+1,063938913i$$

$$x=\frac{-i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+3}{2}\approx 1,5-1,063938913i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(3-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+9-6x+x^{2}=\sqrt{5}$$

Sloučením x^{2} a x^{2} získáte 2x^{2}.

$$2x^{2}+9-6x=\sqrt{5}$$

Odečtěte \sqrt{5} od obou stran.

$$2x^{2}+9-6x-\sqrt{5}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$2x^{2}-6x+9-\sqrt{5}=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 2 za a, -6 za b a 9-\sqrt{5} za c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\left(9-\sqrt{5}\right)}}{2\times 2}$$

Umocněte číslo -6 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\left(9-\sqrt{5}\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\left(9-\sqrt{5}\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslem 9-\sqrt{5}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+8\sqrt{5}-72}}{2\times 2}$$

Přidejte uživatele 36 do skupiny -72+8\sqrt{5}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{8\sqrt{5}-36}}{2\times 2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -36+8\sqrt{5}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2\times 2}$$

Opakem -6 je 6.

$$x=\frac{6±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 2.

$$x=\frac{6±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{6±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{4}, když ± je plus. Přidejte uživatele 6 do skupiny 2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}.

$$x=\frac{6+2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{4}$$

Vydělte číslo 6+2i\sqrt{9-2\sqrt{5}} číslem 4.

$$x=\frac{3+i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{6±2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{4}, když ± je minus. Odečtěte číslo 2i\sqrt{9-2\sqrt{5}} od čísla 6.

$$x=\frac{-2i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+6}{4}$$

Vydělte číslo 6-2i\sqrt{9-2\sqrt{5}} číslem 4.

$$x=\frac{-i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+3}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{3+i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2} x=\frac{-i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+3}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(3-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+9-6x+x^{2}=\sqrt{5}$$

Sloučením x^{2} a x^{2} získáte 2x^{2}.

$$2x^{2}+9-6x=\sqrt{5}$$

Odečtěte 9 od obou stran.

$$2x^{2}-6x=\sqrt{5}-9$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=\frac{\sqrt{5}-9}{2}$$

Dělení číslem 2 ruší násobení číslem 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=\frac{\sqrt{5}-9}{2}$$

Vydělte číslo -6 číslem 2.

$$x^{2}-3x=\frac{\sqrt{5}-9}{2}$$

Vydělte -3, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{3}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{3}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{\sqrt{5}-9}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{3}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{5}-9}{2}+\frac{9}{4}$$

Přidejte uživatele \frac{\sqrt{5}-9}{2} do skupiny \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{9}{4}$$

Činitel x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{9}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{9}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2}$$

Připočítejte \frac{3}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{3+i\sqrt{9-2\sqrt{5}}}{2} x=\frac{-i\sqrt{9-2\sqrt{5}}+3}{2}$$