Vyřešit x^10+5x^5-1=0

$$x ^ { 10 } + 5 x ^ { 5 } - 1 = 0$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x\in \frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{9\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{3\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},-\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{7\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{8\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{4\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{6\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Nahraďtet za x^{5}.

$$t^{2}+5t-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 5 a c hodnotou -1.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2} rovnice.

$$t=\frac{\sqrt{29}-5}{2} t=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

Od x=t^{5} jsou řešení získána vyřešením rovnice pro každý t.

$$x=-ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=-e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=-ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=-e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=-\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2}\approx 0,719321963$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{4}{5}} \sqrt[5]{-\sqrt{29} - 5}}{2} \approx 1,390198064$$

Postup použití kvadratické rovnice

Nahraďtet za x^{5}.

$$t^{2}+5t-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 5 a c hodnotou -1.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2} rovnice.

$$t=\frac{\sqrt{29}-5}{2} t=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

Od x=t^{5} jsou řešení získána vyhodnocením x=\sqrt[5]{t} pro každou t.

$$x=\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{-\sqrt{29}-5}{2}}$$