Vyřešit x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+3y=6$$

Odečtěte hodnotu 3y od obou stran rovnice.

$$x=-3y+6$$

Dosaďte -3y+6 za x ve druhé rovnici, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Vynásobte číslo 5 číslem -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Přidejte uživatele -15y do skupiny -2y.

$$-17y+30=13$$

Odečtěte hodnotu 30 od obou stran rovnice.

$$-17y=-17$$

Vydělte obě strany hodnotou -17.

$$y=1$$

V rovnici x=-3y+6 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-3+6$$

Přidejte uživatele 6 do skupiny -3.

$$x=3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=3,y=1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=3,y=1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Pokud chcete, aby byly členy x a 5x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 5 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Proveďte zjednodušení.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Odečtěte rovnici 5x-2y=13 od rovnice 5x+15y=30 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Přidejte uživatele 5x do skupiny -5x. Členy 5x a -5x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$15y+2y=30-13$$

Přidejte uživatele 15y do skupiny 2y.

$$17y=30-13$$

Přidejte uživatele 30 do skupiny -13.

$$17y=17$$

Vydělte obě strany hodnotou 17.

$$y=1$$

V rovnici 5x-2y=13 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$5x-2=13$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$5x=15$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=3,y=1$$