Vyřešit x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+2y=-1$$

Odečtěte hodnotu 2y od obou stran rovnice.

$$x=-2y-1$$

Dosaďte -2y-1 za x ve druhé rovnici, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Vynásobte číslo 2 číslem -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Přidejte uživatele -4y do skupiny -3y.

$$-7y-2=12$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$-7y=14$$

Vydělte obě strany hodnotou -7.

$$y=-2$$

V rovnici x=-2y-1 dosaďte y za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Vynásobte číslo -2 číslem -2.

$$x=4-1$$

Přidejte uživatele -1 do skupiny 4.

$$x=3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=3,y=-2$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=3,y=-2$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Pokud chcete, aby byly členy x a 2x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 2 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Proveďte zjednodušení.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Odečtěte rovnici 2x-3y=12 od rovnice 2x+4y=-2 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Přidejte uživatele 2x do skupiny -2x. Členy 2x a -2x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$4y+3y=-2-12$$

Přidejte uživatele 4y do skupiny 3y.

$$7y=-2-12$$

Přidejte uživatele -2 do skupiny -12.

$$7y=-14$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$y=-2$$

V rovnici 2x-3y=12 dosaďte y za proměnnou -2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Vynásobte číslo -3 číslem -2.

$$2x+6=12$$

Odečtěte hodnotu 6 od obou stran rovnice.

$$2x=6$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=3$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=3,y=-2$$