Vyřešit x+sqrt{4x+1}=5

$$x + \sqrt { 4 x + 1 } = 5$$

Vyřešte pro: x

$$x=2$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu x od obou stran rovnice.

$$\sqrt{4x+1}=5-x$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}=\left(5-x\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{4x+1} na 2 získáte 4x+1.

$$4x+1=\left(5-x\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(5-x\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x+1=25-10x+x^{2}$$

Odečtěte 25 od obou stran.

$$4x+1-25=-10x+x^{2}$$

Odečtěte 25 od 1 a dostanete -24.

$$4x-24=-10x+x^{2}$$

Přidat 10x na obě strany.

$$4x-24+10x=x^{2}$$

Sloučením 4x a 10x získáte 14x.

$$14x-24=x^{2}$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Změňte uspořádání polynomu do standardního tvaru. Členy seřaďte od největší mocniny po nejmenší.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -x^{2}+ax+bx-24. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 24 produktu.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Řešením je dvojice se součtem 14.

$$a=12 b=2$$

Zapište -x^{2}+14x-24 jako: \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Koeficient -x v prvním a 2 ve druhé skupině.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Vytkněte společný člen x-12 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-12=0 a -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Dosaďte 12 za x v rovnici x+\sqrt{4x+1}=5.

$$12+\sqrt{4\times 12+1}=5$$

Proveďte zjednodušení. x=12 hodnoty nevyhovuje rovnici.

$$19=5$$

Dosaďte 2 za x v rovnici x+\sqrt{4x+1}=5.

$$2+\sqrt{4\times 2+1}=5$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=2 splňuje požadavky rovnice.

$$5=5$$

Rovnice \sqrt{4x+1}=5-x má jedinečné řešení.

$$x=2$$