Vyřešit t^2-4t-4geq0

$$t ^ { 2 } - 4 t - 4 \geq 0$$

Vyřešit pro: t

$$t\in (-\infty,2-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+2,\infty)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$t^{2}-4t-4=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -4 a c hodnotou -4.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{4±4\sqrt{2}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{4±4\sqrt{2}}{2} rovnice.

$$t=2\sqrt{2}+2 t=2-2\sqrt{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+2\right)\right)\left(t-\left(2-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být t-\left(2\sqrt{2}+2\right) a t-\left(2-2\sqrt{2}\right) jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy t-\left(2\sqrt{2}+2\right) a t-\left(2-2\sqrt{2}\right) obojí ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+2\right)\leq 0 t-\left(2-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení t\leq 2-2\sqrt{2}.

$$t\leq 2-2\sqrt{2}$$

Zvažte případ, kdy t-\left(2\sqrt{2}+2\right) a t-\left(2-2\sqrt{2}\right) obojí ≥0.

$$t-\left(2-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+2\right)\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení t\geq 2\sqrt{2}+2.

$$t\geq 2\sqrt{2}+2$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$t\leq 2-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+2$$