Vyřešit p^4-2p^2-8

$$p ^ { 4 } - 2 p ^ { 2 } - 8$$

Rozložit

$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)\left(p^{2}+2\right)$$

Postup řešení

Pokud chcete výraz vynásobit, vyřešte rovnici, ve které se rovná 0.

$$p^{4}-2p^{2}-8=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -8 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±8,±4,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$p=2$$

Podle faktoru binomická p-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo p^{4}-2p^{2}-8 číslem p-2 a dostanete p^{3}+2p^{2}+2p+4. Pokud chcete rozložit výsledek, vyřešte rovnici, ve které se rovná: 0.

$$p^{3}+2p^{2}+2p+4=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 4 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±4,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$p=-2$$

Podle faktoru binomická p-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo p^{3}+2p^{2}+2p+4 číslem p+2 a dostanete p^{2}+2. Pokud chcete rozložit výsledek, vyřešte rovnici, ve které se rovná: 0.

$$p^{2}+2=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 0 a c hodnotou 2.

$$p=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$p=\frac{0±\sqrt{-8}}{2}$$

Polynom p^{2}+2 není rozložitelný, protože nemá žádné racionální kořeny.

$$p^{2}+2$$

Přepište rozložený výraz pomocí získaných kořenů.

$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)\left(p^{2}+2\right)$$

Vyhodnotit

$$p^{4}-2p^{2}-8$$