Vyřešit n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Vyřešit pro: n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Výpočtem 2009 na 2 získáte 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -4019 a c hodnotou 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} rovnice.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Aby mohl být produkt ≤0, musí být jedna z hodnot n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} a n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} ≥0 a druhá musí být ≤0. Předpokládejme, že n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 a n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné n.

$$n\in \emptyset$$

Předpokládejme, že n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 a n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$