Vyřešit n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Vyřešte pro: n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Postup použití rozkladu

Chcete-li rovnici vyřešit, součinitel n^{2}-11n-60 použijte vzorec n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -60 produktu.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Řešením je dvojice se součtem -11.

$$a=-15 b=4$$

Přepište rozložený výraz \left(n+a\right)\left(n+b\right) pomocí získaných hodnot.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte n-15=0 a n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako n^{2}+an+bn-60. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -60 produktu.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Řešením je dvojice se součtem -11.

$$a=-15 b=4$$

Zapište n^{2}-11n-60 jako: \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Koeficient n v prvním a 4 ve druhé skupině.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Vytkněte společný člen n-15 s využitím distributivnosti.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte n-15=0 a n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 1 za a, -11 za b a -60 za c.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Umocněte číslo -11 na druhou.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Přidejte uživatele 121 do skupiny 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Opakem -11 je 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{11±19}{2}, když ± je plus. Přidejte uživatele 11 do skupiny 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Vydělte číslo 30 číslem 2.

$$n=15$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{11±19}{2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 19 od čísla 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Vydělte číslo -8 číslem 2.

$$n=-4$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$n=15 n=-4$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Připočítejte 60 k oběma stranám rovnice.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Odečtením čísla -60 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Odečtěte číslo -60 od čísla 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Vydělte -11, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{11}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{11}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{11}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Přidejte uživatele 60 do skupiny \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Činitel n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Připočítejte \frac{11}{2} k oběma stranám rovnice.

$$n=15 n=-4$$