Vyřešit f(x)=7x^4-71x^3+102x^2+396x+216

$$f ( x ) = 7 x ^ { 4 } - 71 x ^ { 3 } + 102 x ^ { 2 } + 396 x + 216$$

Rozložit

$$\left(x+1\right)\left(7x+6\right)\left(x-6\right)^{2}$$

Postup řešení

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 216 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 7. Jeden takový kořen je -\frac{6}{7}. Součinitele polynomu rozdělíte 7x+6.

$$\left(7x+6\right)\left(x^{3}-11x^{2}+24x+36\right)$$

Zvažte x^{3}-11x^{2}+24x+36. Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 36 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Jeden takový kořen je 6. Součinitele polynomu rozdělíte x-6.

$$\left(x-6\right)\left(x^{2}-5x-6\right)$$

Zvažte x^{2}-5x-6. Roznásobte výraz podle seskupení. Nejprve musí být výraz přepsán jako x^{2}+ax+bx-6. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -6 produktu.

$$1,-6 2,-3$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Řešením je dvojice se součtem -5.

$$a=-6 b=1$$

Zapište x^{2}-5x-6 jako: \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Vytkněte x z výrazu x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Vytkněte společný člen x-6 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Přepište celý rozložený výraz.

$$\left(x+1\right)\left(7x+6\right)\left(x-6\right)^{2}$$

Vyhodnotit

$$\left(x+1\right)\left(7x+6\right)\left(x-6\right)^{2}$$