Vyřešit f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Derivovat vzhledem k y

$$\cos(y)$$

Postup použití definice derivace

Pro funkci f\left(x\right) je derivace limitou výrazu \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, protože h se blíží k 0, pokud taková limita existuje.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Použijte vzorec součtu pro sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Vytkněte \sin(y) před závorku.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Zapište limitu.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Využijte skutečnost, že y je konstanta při počítání limit, pokud se h blíží nule (0).

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Limita \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} je 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

Aby bylo možné vyhodnotit limitu \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, je nejdříve nutné vynásobit čitatele a jmenovatele číslem \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Vynásobte číslo \cos(h)+1 číslem \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Použijte Pythagorovu větu.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Zapište limitu.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Limita \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} je 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Využijte skutečnost, že funkce \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} je při hodnotě 0 spojitá.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Dosaďte hodnotu 0 do výrazu \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Vyhodnotit

$$\sin(y)$$