Vyřešit f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Vyhodnotit

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Vzhledem k tomu, že \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int t^{3}\mathrm{d}t \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Vzhledem k tomu, že \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}. Vynásobte číslo 2 číslem \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Najděte si integrál 1 pomocí \int a\mathrm{d}t=at tabulky společného integrálového pravidla.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Derivovat vzhledem k x

$$x^{3}+2x^{2}+1$$