Vyřešit f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Vyhodnotit

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Postup řešení

Nejdříve vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrujte součet člen po členu.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

V každém členu vytkněte konstantu.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Vzhledem k tomu, že \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Vzhledem k tomu, že \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pro k\neq -1, nahraďte \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2}. Vynásobte číslo -1 číslem \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Určitý integrál je primitivní funkcí výrazu vyhodnocené jako horní limita integrace minus primitivní funkce vyhodnocená jako spodní limita integrace.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Derivovat vzhledem k x

$$x\left(x-1\right)$$